Metriks determinan

Determinan Matriks

Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau \left| A \right|. Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan cara menghitung determinan di bawah.

Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Seperti yang sobat idschool sudah ketahui, matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]
Nilai determinan A disimbolkan dengan \left| A \right|, cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.
  \[ det(A) \; = \; \left| A \right| = ad - bc \]

Contoh Soal:
Tentukan nilai determinan matriks
  \[ A \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \]
Pembahasan:
  \[ \left| A \right| = ad - bc = 3 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 15 - 2 = 13\]

Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Matriks Ordo 3 adalah matriks bujur sangkar dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Bentuk umum matriks ordo 3 adalah sebagai berikut.
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]
Cara menghitung determinan pada matriks dengan ordo tiga biasa disebut dengan Aturan Sarrus. Untuk lebih jelasnya, lihat penjelasan pada gambar di bawah.

determinan matriks

Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]
Maka,
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \]
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = 1\cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \]
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12 \]
  \[ \left| \textrm{A} \right| \; = -6 \]

Selanjutnya, pembahasan kita akan berlanjut ke invers matriks.

Invers Matriks

Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar A dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar A^{-1} maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks).
Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar A dan -A akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).
  \[ A \cdot A^{-1} = I\]
  \[ A + (-A) = 0 \]

Invers Matriks Ordo 2 x 2
Invers dari suatu matirks A
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]
dinyatakan dalam rumus di bawah.
Invers Matriks
Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.
Diketahui:
  \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]
Tentukan invers dari matrik A!
Pembahasan:
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{3 \cdot 4 - 2 \cdot 1} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{12 - 2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]
  \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]

Invers Matriks Ordo 3 x 3
Cara untuk menentukan nilai invers matriks A dengan ordo 3 x 3 tidak sama dengan cara menentukan invers matriks dengan ordo 2 x 2. Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2. Melalui halaman ini, idschool akan berbagi cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3. Simak ulasannyna pada pembahasan di bawah.
Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Simak penjelasannya pada uraian di bawah.
  1. Matriks Minor
    Diketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.

    Invers Matriks Ordo 3 x 3
    Matriks minor M_{ij} adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah.

    Matriks Minor Mij
    Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A.

  2. Kofaktor
    Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan C_{ij} dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.
    Matriks Kofaktor
    Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.

  3. Adjoin
    Secara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah.
    Matriks Adjoin A
    Keterangan: C_{ij} adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.
    Sehinnga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.
      \[ Adj(A) \; = \; \; \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} \]

  4. Invers Matriks
    Bagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih.
    Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih. Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.
      \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot Adj(A) \]
    Dengan substitusi nilai determinan matriks dan adjoin matriks maka akan diperoleh invers matriknya.
Agar lebih jelas, akan diberikan contoh soal cara mencari invers matriks berodo 3. Simak langkah-langkah yang diberikan di bawah.
Contoh soal menentukan invers matriks berordo 3 x 3
Tentukan invers matriks B yang diberikan pada persamaan di bawah.
  \[ \textrm{B} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]
Pembahasan:
Menghitung nilai determinan B:
  \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \]
  \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \]
  \[ \left| \textrm{B} \right| \; = \; 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12 = - 6 \]

Menentukan Kofaktor:
Berikut ini adalah hasil perhitungan nilai-nilai kofaktor untuk matriks B. Silahkan lihat kembali bagaimana cara mendapatkan nilai kofaktor pada rumus yang telah dibahas di atas jika belum hafal rumusnya.
Matriks Kofaktor
Untuk menentukan invers B, kita membutuhkan matriks adjoin B. Sehingga, kita perlu menentukan matriks adjoin B terlebih dahulu.

Menentukan Adjoin B:
Adjoin dari matriks B, sesuai dengan persamaan di atas akan diperoleh hasil seperti berikut.
Matriks Adjoin B

Menentukan Invers Matriks B:
Persamaan umum untuk invers suatu matriks dinyatakan melalui persamaan di bawah.
  \[ B^{-1} \; = \; \frac{1}{det(B)} \cdot Adj(B) \]
Sehingga, diperoleh invers matriks B seperti hasil berikut.
Invers Matriks B

Sifat-Sifat Matriks

Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan matriks nonsingularatau matriks invertible. Sedangkan matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular. Kriteria matriks yang memiliki invers dapat dilihat pada gambar di bawah.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Gambar
Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Ciri ciri Metode Gauss adalah  Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah   1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya Dibawah 1 utama harus nol Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi  X3 = 0.538 X2 - 0.25(X3) = 1.25 X2 = 1.25 + 0.25(0.538) X2 ...
Baca selengkapnya
Gambar
Basis dan Dimensi Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk R n , yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier  . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V. Definisi Contoh : Misalkan p(x) = 2 – 3x + x 2  , q(x) = 1 + x – x 2  , r(x) = 5 – 5x + x 2  untuk setiap x real. Karena 2p + g – r = 0 maka {p, q, r} bergantung linier di P 2 Sifat   :   Definisi : Ruang vektor tak nol V dikatakan berdimensi hingga, jika V mempunyai basis yang hingga. Banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V disebut dimensi (V), disingkat dim(V). dimensi ruang vektor nol didefinisikan nol. Contoh : Dimensi ( Â n ) = n sebab memiliki basis yang terdiri dari n...
Baca selengkapnya
Gambar
Partisi Matrik Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks. Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu. Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya. Latihan 5.2 (perkalian partisi) Diberikan Solusi : Jadikan Z 1   menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z 2   matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A 1   merupakan aturan m × p dan A 2   merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mempunyai Contoh lain.... ^_^ maka 
Baca selengkapnya