Ruang Vektor dan Ruang Bagian

Ruang Vektor dan Ruang Bagian

DEFINISI RUANG VEKTOR &  RUANG BAGIAN

RUANG VEKTOR

DEFINISI

Misalkan  V  adalah  suatu  himpunan  tak  kosong  dari  objek-objek  sebarang,  di  mana  dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkaliandengan skalar (bilangan).

v  Operasi   Penjumlahan(addition)   dapat   diartikan   sebagai   suatu   aturan   yang mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v  pada V dengan suatu objek u + v, yang disebut jumlah (sum) dari  u  dan  v.

v  Operasi Perkalian Skalar (scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar kdan setiap objek u pada V dengan suatu objek ku, yang disebut kelipatan skalardari u oleh k.  

RUANG BAGIAN

           Pandang  V suatu Ruang Vektor.  W  himpunan  bagian  dari  V,W  (misalnya  dengan suatu  sifat  khusus)  memenuhi semua  aksioma  Ruang  Vektor,  sehingga  merupakan  Ruang Vektor tersendiri, maka W kita sebut Ruang Vektor Bagian (Subspace) dari V.

          

           Kadang kadang dihilangkan kata “Bagian” dan menyebutnya dengan “ruang vektor di V”, atau pula “ruang bagian dari V”

Contoh1:

             Pandang R3 dengan  susunan Cartesian dimana   X,   Y,   Z  adalah sumbu-sumbu koordinatnya.  Himpunan  vektor-vektor  pada  bidang  XOY  merupakan  ruang  vektor  bagian dari R3.Dapat mudah dipahami bahwa komponen ketiga dari setiap vektor pada XOY adalah = 0. Atau;                                           XOY = { (x,y,0|x ∈R, y ∈R }

           

            Contoh  anggota  XOY  adalah a=  [1,1,0],b=[0,1,0],   c  = [2,3,0],  0  =  [0,0,0],  dan lain-lain. Jelas bahwa tidak semua vektor є R3merupakan  anggotaXOY.  Kemudian  mudah ditunjukkan bahhwa XOY memenuhi  semua aksioma  Ruang Vektor.

Untuk menentukan  apakah  W  merupakan  ruang  bagian,  cukup  dengan memeriksa  sebagai  berikut  :

(C1)   W # ∅  ( W tidak hampa), untuk itu kita tunjukkan bahwa vektor 0 ∈W.

(C2)    Untuk setiap  a, b ∈W  maka  A + B ∈W

(C3)Untuk seiap  a ∈W  dan  α є K (skalar)maka  αa ∈W. Maka W adalah ruang vektor bagian dari  V.

             Ketiga  syarat  (C1),  (C2)    dan  (C3)  itu  cukup.    Karena  bila    W ∁V, aksioma  ruang  vektor kecuali  (B1),  (B4)    dan  (B5)  terpenuhi.  Syarat  (C2)  dan  (C3)    dapat  menggantikan  (B1). Sedang (C1) yaitu  W  tidak hampa, berarti terdapat u ∈W dan karena (C3) terpenuhi 0u = 0 ∈W,  (-1)u = -(1u) = -(1u) = -u ∈W. Berarti  (B4)  dan (B5)  terpenuhi.