Transformasi Linier Definisi : F : v ↔ w ; v dan w Ruang Vektor . F disebut Transformasi Linear jika memenuhi 2 Aksioma berikut. ∀ u,v ∈ v dan k skalar 1) F(u+v) = F(u) + F(v) 2) F(ku) = k.F(u) Contoh : 1) Diketahui F : R² ↔ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y, x-y, 2xy) merupakan Transformasi Linear ? Jawab : Misal u,v ∈ R² u = (x₁,y₁) v = (x₂,y₂) k skalar 1) F(u+v) = F(u) + F(v) Ruas Kiri F(u+v) = F( (x₁,y₁) + (x₂,y₂) ) = F ( x₁+x₂ , y₁+y₂ ) = ( (x₁+x₂) + (y₁+y₂) , (x₁+x₂) - (y₁+y₂) , 2(x₁+x₂).(y₁+y₂) ) = ( (x₁+y₁) + (x₂+y₂) , (x₁-y₁) + (x₂-y₂) , 2x₁y₁ + 2x₂y₂ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁ ) = ( x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2x₁y₁ ) + ( x₂+y₂ , x₂-y₂ , 2x₂y₂ ) + ( 0 , 0 , 2x₁y₂ + 2x₂y₁ ) ...
Postingan
Basis dan Dimensi Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk R n , yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V. Definisi Contoh : Misalkan p(x) = 2 – 3x + x 2 , q(x) = 1 + x – x 2 , r(x) = 5 – 5x + x 2 untuk setiap x real. Karena 2p + g – r = 0 maka {p, q, r} bergantung linier di P 2 Sifat : Definisi : Ruang vektor tak nol V dikatakan berdimensi hingga, jika V mempunyai basis yang hingga. Banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V disebut dimensi (V), disingkat dim(V). dimensi ruang vektor nol didefinisikan nol. Contoh : Dimensi ( Â n ) = n sebab memiliki basis yang terdiri dari n...
Kombinasi dan Kebebasan Linier Definisi : Sebuah vector W dinamakan kombinasi linear dari vector-vektor v 1 , v 2 , … v r jika vector tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk W = k 1 v 1 + k 2 v 2 +……+ k r v r dimana k 1 , k 2 ,….., k r adalah skalar Contoh soal : 1.Diketahui W = (8,11,14) , v 1 = (4,5,6) dan v 2 = (-2,-2,-2) Nyatakan W sebagai kombinasi linear Misal : W = k 1 v 1 + k 2 v 2 (8,11,14) = k 1 (4,5,6) + k 2 (-2,-2,-2) (8,11,14) = (4k 1 -2k 2 , 5k 1 -2k 2 , 6k 1 -2k 2 ) Didapat SPL 4k 1 -2k 2 = 8 ….. (1) 5k 1 -2k 2 = 11…. (2) 6k 1 -2k 2 = 14 … (3) Dengan aturan Eliminasi dan Substitusi Didapat k 1 = 3 dan k 2 = 2 sehingga didapat W = 3v 1 + 2v 2 Atau kita juga dapat menyelesaikan SPL ini dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan Pengerjaan akhirnya seperti ini : ⎡ ⎣ ⎢ 1 0 0 0 1 0 − 3 2 0 ⎤ ⎦ ⎥
Ruang Vektor dan Ruang Bagian DEFINISI RUANG VEKTOR & RUANG BAGIAN RUANG VEKTOR DEFINISI Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di mana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkaliandengan skalar (bilangan). v Operasi Penjumlahan(addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u + v, yang disebut jumlah (sum) dari u dan v. v Operasi Perkalian Skalar (scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar kdan setiap objek u pada V dengan suatu objek ku, yang disebut kelipatan skalar...
Metode Crammer jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x 1 + 2x 3 = 6 -3x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 30 -x 1 - 2x 2 + 3x 3 = 8 Jawab: bentuk matrik A dan b A = b = kemudian ganti kolom j dengan matrik b A 1 = A 2 = A 3 = dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas maka, R = E r ... E 2 E 1 A dan, det( R )=det( E r )...det( E 2 )det( E 1 )det( E A ) Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R ...
Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Ciri ciri Metode Gauss adalah Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya Dibawah 1 utama harus nol Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi X3 = 0.538 X2 - 0.25(X3) = 1.25 X2 = 1.25 + 0.25(0.538) X2 ...
Partisi Matrik Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks. Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu. Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya. Latihan 5.2 (perkalian partisi) Diberikan Solusi : Jadikan Z 1 menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z 2 matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A 1 merupakan aturan m × p dan A 2 merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mempunyai Contoh lain.... ^_^ maka
Sistem persamaan linear dengan menggunakan Matriks Sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. penyelesaian matriks persamaan linear terbagi menjadi siste persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear tiga variabel. Dalam bentuk matriks sistem persamaan linear dituliskan menjadi sistem persamaan linear, PX =Q diklasifikasikan menjadi sistem persamaan linear homogen dan sistem persamaan linear non homogen. sistem persamaan linear dikatakan homogen jika koefisien matriks B = 0 dan siste ersamaan linear dikatakan non homogen jika terdapat koefisien matriks B tak nol. Dalammelakukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan matriks, terdapat beberapa cara. salah satunya metode eliminasi gouss. melalui metode eliminasi gouss ini cara yang dilalui tidak jauh berbeda dengan metode operasi baris elementer. ada sedikit perbedaan yaitu diakhir harus terdapat segitiga bawah yang nilainya harus kita ubah menjadi nol melalui metode operasi baris elementer. Analisis: juml...